From 1f05774dd2af1488f043f776f125ff5be10d953c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=BA=BF=E7=B2=92=E4=BD=93XianlitiCN?= Date: Wed, 4 Feb 2026 13:35:54 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=A4=A7=E5=81=9A=E4=B8=80=E9=81=93=E5=B0=8F?= =?UTF-8?q?=E5=AF=BC=E6=95=B0=E9=A2=98=EF=BC=9A=E4=BF=AE=E6=AD=A3=E5=AF=BC?= =?UTF-8?q?=E6=95=B0=E6=92=87=E5=8F=B7?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- content/blog/大做一道小导数题.md | 34 ++++++++++++------------ 1 file changed, 17 insertions(+), 17 deletions(-) diff --git a/content/blog/大做一道小导数题.md b/content/blog/大做一道小导数题.md index 5fd5f64..5a83229 100644 --- a/content/blog/大做一道小导数题.md +++ b/content/blog/大做一道小导数题.md @@ -5,46 +5,46 @@ author: 线粒体 --- ## 题目 -**【2024·嘉峪关市酒钢三中1月联考预测卷：21. (2)】** $g\left ( x \right ) = x\ln*{}{\left ( x+1 \right ) } +a\ln*{}{\left ( x+1 \right ) } -x$ ，$g\left ( x \right )$ 在 $\left ( 0,+ \infty \right )$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围． +**【2024·嘉峪关市酒钢三中1月联考预测卷：21. (2)】** $g\left ( x \right ) = x\ln_{}{\left ( x+1 \right ) } +a\ln_{}{\left ( x+1 \right ) } -x$ ，$g\left ( x \right )$ 在 $\left ( 0,+ \infty \right )$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围． ## 大做法 ### 解析 -$g\left ( x \right )$ 作为一个十分复杂的函数，通过直接观察的方式显然不能有所突破，因此，考虑 $g\left ( x \right )$ 的导函数 ${g}' (x)$ ．$g(x)$ 在 $(0,+ \infty)$ 单调递增的等价命题是： ${g}' (x)$ 在 $(0,+ \infty)$ 上非负． +$g\left ( x \right )$ 作为一个十分复杂的函数，通过直接观察的方式显然不能有所突破，因此，考虑 $g\left ( x \right )$ 的导函数 ${g}^{\prime} (x)$ ．$g(x)$ 在 $(0,+ \infty)$ 单调递增的等价命题是： ${g}^{\prime} (x)$ 在 $(0,+ \infty)$ 上非负． -因此，题目求解的是命题 $p : \forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) \ge 0$ 为真时，$a$ 的取值范围． +因此，题目求解的是命题 $p : \forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}^{\prime} (x) \ge 0$ 为真时，$a$ 的取值范围． -$$ {g}' (x) = \ln_{}{(x+1)} + \dfrac {a-1}{x+1}. $$ +$$ {g}^{\prime} (x) = \ln_{}{(x+1)} + \dfrac {a-1}{x+1}. $$ -所以命题$p : \forall x \in (0,+\infty)$，${g}' (x) =\ln_{}{(x+1)} + \dfrac {a-1}{x+1} \ge 0. $ +所以命题$p : \forall x \in (0,+\infty)$，${g}^{\prime} (x) =\ln_{}{(x+1)} + \dfrac {a-1}{x+1} \ge 0. $ 当前的目标是求得使该命题为真的 $a$ 的取值范围． -${g}' (x)$ 的性质仍然不是很明显，因此对 ${g}' (x)$ 求导： +${g}^{\prime} (x)$ 的性质仍然不是很明显，因此对 ${g}^{\prime} (x)$ 求导： -$$ {g}'' (x) = \dfrac {1}{x+1} + \dfrac {-(a-1)}{(x+1)^{2}} = \dfrac {x-a+2}{(x+1)^{2}} . $$ +$$ {g}^{\prime\prime} (x) = \dfrac {1}{x+1} + \dfrac {-(a-1)}{(x+1)^{2}} = \dfrac {x-a+2}{(x+1)^{2}} . $$ -${g}'' (x)$ 是 ${g}' (x)$ 的导函数，考察 ${g}'' (x)$ 来观察 ${g}' (x)$ 的性质． +${g}^{\prime\prime} (x)$ 是 ${g}^{\prime} (x)$ 的导函数，考察 ${g}^{\prime\prime} (x)$ 来观察 ${g}^{\prime} (x)$ 的性质． -令 ${g}'' (x) = 0$ ，得到 $x = a-2$ ．即 ${g}' (x)$ 的驻点是 $a-2$ ．这时需要讨论该驻点是否在定义域 $(-1,+\infty)$ 内，先讨论在定义域内的情形，即 $a-2 > -1$ ，$a>1$ ．当 $xa-2$ 时，$x-a+2>0$ ，所以 ${g}'' (x) > 0$ ．所以 ${g}' (x)$ 在驻点左侧单调递减，在驻点右侧单调递增． +令 ${g}^{\prime\prime} (x) = 0$ ，得到 $x = a-2$ ．即 ${g}^{\prime} (x)$ 的驻点是 $a-2$ ．这时需要讨论该驻点是否在定义域 $(-1,+\infty)$ 内，先讨论在定义域内的情形，即 $a-2 > -1$ ，$a>1$ ．当 $xa-2$ 时，$x-a+2>0$ ，所以 ${g}^{\prime\prime} (x) > 0$ ．所以 ${g}^{\prime} (x)$ 在驻点左侧单调递减，在驻点右侧单调递增． -当驻点小于或等于 $-1$ 时，可以说 ${g}' (x)$ 在定义域内无驻点．此时 $a-2 \le -1$ ，$x-a+2 \ge x+1$ ，$\dfrac {x-a+2}{x+1} \ge 1$ ，所以 ${g}'' (x)$ 在定义域内恒大于 $0$ ，${g}' (x)$ 在定义域内为增函数． +当驻点小于或等于 $-1$ 时，可以说 ${g}^{\prime} (x)$ 在定义域内无驻点．此时 $a-2 \le -1$ ，$x-a+2 \ge x+1$ ，$\dfrac {x-a+2}{x+1} \ge 1$ ，所以 ${g}^{\prime\prime} (x)$ 在定义域内恒大于 $0$ ，${g}^{\prime} (x)$ 在定义域内为增函数． -由上总结 ${g}' (x)$ 的两种单调性： +由上总结 ${g}^{\prime} (x)$ 的两种单调性： -1. 当 $a-2>-1$ 即 $a>1$ 时，${g}' (x)$ 在 $a-2$ 左侧减，右侧增（图1）. -2. 当 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 时，${g}' (x)$ 在定义域上增（图2）. +1. 当 $a-2>-1$ 即 $a>1$ 时，${g}^{\prime} (x)$ 在 $a-2$ 左侧减，右侧增（图1）. +2. 当 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 时，${g}^{\prime} (x)$ 在定义域上增（图2）. ![](/uploads/geogebra-export-3.png "图1") ![](/uploads/geogebra-export-2.png "图2") -注意到我们要求的是命题 $p : \forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) \ge 0$ 为真时，$a$ 的取值范围． +注意到我们要求的是命题 $p : \forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}^{\prime} (x) \ge 0$ 为真时，$a$ 的取值范围． -显然，对于 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 的情况，由于 ${g}' (x)$ 在定义域上增，故在 $(0,+\infty)$ 上也增，因此只需使 ${g}' (0) \ge 0$ ，就可以使命题 $p$ 为真．所以 ${g}' (0)=a-1 \ge 0$ ，$a \ge 1$ ．结合 $a \le 1$ 的前提，得 $a=1$ ． +显然，对于 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 的情况，由于 ${g}^{\prime} (x)$ 在定义域上增，故在 $(0,+\infty)$ 上也增，因此只需使 ${g}^{\prime} (0) \ge 0$ ，就可以使命题 $p$ 为真．所以 ${g}^{\prime} (0)=a-1 \ge 0$ ，$a \ge 1$ ．结合 $a \le 1$ 的前提，得 $a=1$ ． -$a-2>-1$ 即 $a>1$ 的情况比较复杂，可以分为两种情况去讨论．**第一**，当 $-10$ 即 $a>2$ 时，${g}' (x)$ 在 $x=a-2$ 处取得最小值，故只需 ${g}' (a-2) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，${g}' (a-2)=\ln*{}{(a-1)}+\dfrac {a-1}{a-1}=\ln*{}{(a-1)}+1 \ge 0$ ，$\ln_{}{(a-1)} \ge -1$ ， $a \ge \dfrac {1}{\mathrm{e}} +1$ ，结合前提得 $a>2$ ． +$a-2>-1$ 即 $a>1$ 的情况比较复杂，可以分为两种情况去讨论．**第一**，当 $-10$ 即 $a>2$ 时，${g}^{\prime} (x)$ 在 $x=a-2$ 处取得最小值，故只需 ${g}^{\prime} (a-2) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，${g}^{\prime} (a-2)=\ln*{}{(a-1)}+\dfrac {a-1}{a-1}=\ln*{}{(a-1)}+1 \ge 0$ ，$\ln_{}{(a-1)} \ge -1$ ， $a \ge \dfrac {1}{\mathrm{e}} +1$ ，结合前提得 $a>2$ ． 综上，列出满足 $p$ 的三个条件： @@ -64,7 +64,7 @@ $a-2>-1$ 即 $a>1$ 的情况比较复杂，可以分为两种情况去讨论．* ## 小做法 -要求的仍然是 $\forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) \ge 0$ 时 $a$ 的取值范围，即 $\ln_{}{(x+1)}+\dfrac{a-1}{x+1} \ge 0$ 时 $a$ 的取值范围． +要求的仍然是 $\forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}^{\prime} (x) \ge 0$ 时 $a$ 的取值范围，即 $\ln_{}{(x+1)}+\dfrac{a-1}{x+1} \ge 0$ 时 $a$ 的取值范围． 对于 $x\in (0,+\infty)$ ，$\ln_{}{(x+1)}$ 是恒正的．$\dfrac{a-1}{x+1}$ 则有两种情况：第一，当 $a-1 <0$ 即 $a<1$ ，$\dfrac{a-1}{x+1}$ 恒为负．第二，当 $a-1 \ge 0$ 即 $a \ge 1$ ，$\dfrac{a-1}{x+1}$ 恒非负．