Update 文章 “大做一道小导数题”

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@@ -3,9 +3,9 @@ title: 大做一道小导数题
 date: 2024-01-03T23:56:00.000+08:00
 author: 线粒体
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 ## 题目
-**【2024·嘉峪关市酒钢三中1月联考预测卷：21. (2)】** $g\left ( x \right ) = x\ln_{}{\left ( x+1 \right ) } +a\ln_{}{\left ( x+1 \right ) } -x$ ，$g\left ( x \right )$ 在 $\left ( 0,+ \infty \right )$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．
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+**【2024·嘉峪关市酒钢三中1月联考预测卷：21. (2)】** $g\left ( x \right ) = x\ln*{}{\left ( x+1 \right ) } +a\ln*{}{\left ( x+1 \right ) } -x$ ，$g\left ( x \right )$ 在 $\left ( 0,+ \infty \right )$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．
 
 ## 大做法
 
@@ -33,24 +33,18 @@ ${g}'' (x)$ 是 ${g}' (x)$ 的导函数，考察 ${g}'' (x)$ 来观察 ${g}' (x)
 
 由上总结 ${g}' (x)$ 的两种单调性：
 
-1. 当 $a-2>-1$ 即 $a>1$ 时，${g}' (x)$ 在 $a-2$ 左侧减，右侧增（图1）．
+1. 当 $a-2>-1$ 即 $a>1$ 时，${g}' (x)$ 在 $a-2$ 左侧减，右侧增（图1）.
-2. 当 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 时，${g}' (x)$ 在定义域上增（图2）．
+2. 当 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 时，${g}' (x)$ 在定义域上增（图2）.
 
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+![](/uploads/geogebra-export-3.png "图1")
-<div class="wp-block-group"><!-- wp:image {"lightbox":{"enabled":true},"id":521,"scale":"cover","sizeSlug":"large","linkDestination":"none"} -->
-<figure class="wp-block-image size-large"><img src="https://qingshuige.ink/wp-content/uploads/2024/01/geogebra-export-3-1024x612.png" alt="" class="wp-image-521" style="object-fit:cover"/><figcaption class="wp-element-caption">图1</figcaption></figure>
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-<!-- wp:image {"lightbox":{"enabled":true},"id":520,"scale":"cover","sizeSlug":"large","linkDestination":"none"} -->
+![](/uploads/geogebra-export-2.png "图2")
-<figure class="wp-block-image size-large"><img src="https://qingshuige.ink/wp-content/uploads/2024/01/geogebra-export-2-1024x612.png" alt="" class="wp-image-520" style="object-fit:cover"/><figcaption class="wp-element-caption">图2</figcaption></figure>
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-<!-- /wp:group -->
 
 注意到我们要求的是命题 $p : \forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) \ge 0$ 为真时，$a$ 的取值范围．
 
 显然，对于 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 的情况，由于 ${g}' (x)$ 在定义域上增，故在 $(0,+\infty)$ 上也增，因此只需使 ${g}' (0) \ge 0$ ，就可以使命题 $p$ 为真．所以 ${g}' (0)=a-1 \ge 0$ ，$a \ge 1$ ．结合 $a \le 1$ 的前提，得 $a=1$ ．
 
-$a-2>-1$ 即 $a>1$ 的情况比较复杂，可以分为两种情况去讨论．**第一**，当 $-1<a-2 \le 0$ 即 $1<a \le 2$ 时，${g}' (x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增的，因此只需 ${g}' (0) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，解得 $a \ge 1$ ，结合前提得 $1<a \le 2$ ．**第二**，当 $a-2>0$ 即 $a>2$ 时，${g}' (x)$ 在 $x=a-2$ 处取得最小值，故只需 ${g}' (a-2) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，${g}' (a-2)=\ln_{}{(a-1)}+\dfrac {a-1}{a-1}=\ln_{}{(a-1)}+1 \ge 0$ ，$\ln_{}{(a-1)} \ge -1$ ， $a \ge \dfrac {1}{\mathrm{e}} +1$ ，结合前提得 $a>2$ ．
+$a-2>-1$ 即 $a>1$ 的情况比较复杂，可以分为两种情况去讨论．**第一**，当 $-1<a-2 \le 0$ 即 $1<a \le 2$ 时，${g}' (x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增的，因此只需 ${g}' (0) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，解得 $a \ge 1$ ，结合前提得 $1<a \le 2$ ．**第二**，当 $a-2>0$ 即 $a>2$ 时，${g}' (x)$ 在 $x=a-2$ 处取得最小值，故只需 ${g}' (a-2) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，${g}' (a-2)=\ln*{}{(a-1)}+\dfrac {a-1}{a-1}=\ln*{}{(a-1)}+1 \ge 0$ ，$\ln_{}{(a-1)} \ge -1$ ， $a \ge \dfrac {1}{\mathrm{e}} +1$ ，结合前提得 $a>2$ ．
 
 综上，列出满足 $p$ 的三个条件：
 
@@ -74,14 +68,12 @@ $a-2>-1$ 即 $a>1$ 的情况比较复杂，可以分为两种情况去讨论．*
 
 对于 $x\in (0,+\infty)$ ，$\ln_{}{(x+1)}$ 是恒正的．$\dfrac{a-1}{x+1}$ 则有两种情况：第一，当 $a-1 <0$ 即 $a<1$ ，$\dfrac{a-1}{x+1}$ 恒为负．第二，当 $a-1 \ge 0$ 即 $a \ge 1$ ，$\dfrac{a-1}{x+1}$ 恒非负．
 
-如图3，对于 $x\in (0,+\infty)$ ，当 $a-1 <0$ 时，其他点暂且勿论，单看 $\lim_{x \to 0^{+}} \ln_{}{(x+1)}+\dfrac{a-1}{x+1} < 0$ ，就知道 $a-1 <0$ 不满足这个命题．而 $a-1 \ge 0$ 显然是满足的，因为两正数相加结果一定为正数．故只需使 $a-1 \ge 0$ 即可使命题为真．
+如图3，对于 $x\in (0,+\infty)$ ，当 $a-1 <0$ 时，其他点暂且勿论，单看 $\lim*{x \to 0^{+}} \ln*{}{(x+1)}+\dfrac{a-1}{x+1} < 0$ ，就知道 $a-1 <0$ 不满足这个命题．而 $a-1 \ge 0$ 显然是满足的，因为两正数相加结果一定为正数．故只需使 $a-1 \ge 0$ 即可使命题为真．
 
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+![](/uploads/geogebra-export-4.png)
-<figure class="wp-block-image aligncenter size-large"><img src="https://qingshuige.ink/wp-content/uploads/2024/01/geogebra-export-4-1024x612.png" alt="" class="wp-image-524"/><figcaption class="wp-element-caption">图3</figcaption></figure>
-<!-- /wp:image -->
 
 该做法相当巧妙简洁，在考场上能够节省大量时间，是绝大多数学生采用的做法．
 
 > 题不要多做，要做精、做透，研究得清清楚楚。
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 > ——@nanmu