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@@ -7,19 +7,19 @@ author: 线粒体
那么既然$a$可以有无限个取值，是不是代表，我们可以用的**音**也是无穷？显然不是。对于人类来说，人耳生理上的限制决定我们并不能准确分辨所有的声音。比如，某两个音可能频率不同，但听起来一样；或者某个音频率太高或太低，根本听不见。 那么既然$a$可以有无限个取值，是不是代表，我们可以用的**音**也是无穷？显然不是。对于人类来说，人耳生理上的限制决定我们并不能准确分辨所有的声音。比如，某两个音可能频率不同，但听起来一样；或者某个音频率太高或太低，根本听不见。
首先我们探讨第一个问题，即人耳能听到的频率处于什么范围。根据研究，大部分人能够听到的频率介于$20\, \mathrm{Hz}$到$20000\ \mathrm{Hz}$之间。所以说，如果你想演奏人类能够欣赏的音乐，首先应当使得$a \in [20,20000]$。 首先我们探讨第一个问题，即人耳能听到的频率处于什么范围。根据研究，大部分人能够听到的频率介于$20\ \mathrm{Hz}$到$20000\ \mathrm{Hz}$之间。所以说，如果你想演奏人类能够欣赏的音乐，首先应当使得$a \in [20,20000]$。
现在来探讨第二个问题：频率不同，是不是我们的耳朵就一定能准确感知这种不同？ 现在来探讨第二个问题：频率不同，是不是我们的耳朵就一定能准确感知这种不同？
你可以使用一些设备播放一个特定频率的正弦波。首先将频率调到$440\, \mathrm{Hz}$，聆听一小会。然后调到$441\, \mathrm{Hz}$，你能分辨这两个音之间的不同吗？ 你可以使用一些设备播放一个特定频率的正弦波。首先将频率调到$440\ \mathrm{Hz}$，聆听一小会。然后调到$441\, \mathrm{Hz}$，你能分辨这两个音之间的不同吗？
如此不断将频率调大，直到你可以明显感知到“音变高了”，观察频率数字，看看和$440\, \mathrm{Hz}$相差多少。对于一些听觉比较敏感的人，可能在调到$441\, \mathrm{Hz}$时马上就能感知到变化。但是对于一些听觉不那么敏感的人，可能要调到$443\, \mathrm{Hz}$乃至更高。这个简单的实验说明人耳对频率的分辨力是有一定限度的。所以，我们可用的频率$a$又缩小了，它的取值变成了一个离散集。 如此不断将频率调大，直到你可以明显感知到“音变高了”，观察频率数字，看看和$440\ \mathrm{Hz}$相差多少。对于一些听觉比较敏感的人，可能在调到$441\ \mathrm{Hz}$时马上就能感知到变化。但是对于一些听觉不那么敏感的人，可能要调到$443\ \mathrm{Hz}$乃至更高。这个简单的实验说明人耳对频率的分辨力是有一定限度的。所以，我们可用的频率$a$又缩小了，它的取值变成了一个离散集。
让我们继续这个实验，依然从$440\, \mathrm{Hz}$开始，逐步上调频率。当然，这次你可以调得快一点，甚至直接按住按键，让频率连续快速增长。当一串滑音进入你的耳朵后，敏锐的听觉会捕捉到有一个“**回归**”的音。这个音听起来跟$440\, \mathrm{Hz}$非常相似，但是明显更高。这时候找到这个音的频率，发现是$880\, \mathrm{Hz}$。 让我们继续这个实验，依然从$440\ \mathrm{Hz}$开始，逐步上调频率。当然，这次你可以调得快一点，甚至直接按住按键，让频率连续快速增长。当一串滑音进入你的耳朵后，敏锐的听觉会捕捉到有一个“**回归**”的音。这个音听起来跟$440\ \mathrm{Hz}$非常相似，但是明显更高。这时候找到这个音的频率，发现是$880\ \mathrm{Hz}$。
$880\, \mathrm{Hz}$可以有两种含义：一种是$440\, \mathrm{Hz}+440\, \mathrm{Hz}$，另一种是$440\, \mathrm{Hz} \times 2$。这时候我们会产生一个想法：如果我想再找到一个“回归”的音，应该将频率加上$440\, \mathrm{Hz}$还是乘以$2$呢？ $880\ \mathrm{Hz}$可以有两种含义：一种是$440\ \mathrm{Hz}+440\ \mathrm{Hz}$，另一种是$440\ \mathrm{Hz} \times 2$。这时候我们会产生一个想法：如果我想再找到一个“回归”的音，应该将频率加上$440\ \mathrm{Hz}$还是乘以$2$呢？
依然可以用实验来验证。将频率调到$880\, \mathrm{Hz} + 440\, \mathrm{Hz} = 1320\, \mathrm{Hz}$，和$880\, \mathrm{Hz}$比较，发现两个音好像没什么关系。再讲频率调到$880\, \mathrm{Hz} \times 2 = 1760\, \mathrm{Hz}$，马上可以分辨出这个音又是一个“回归”的音。 依然可以用实验来验证。将频率调到$880\ \mathrm{Hz} + 440\ \mathrm{Hz} = 1320\ \mathrm{Hz}$，和$880\ \mathrm{Hz}$比较，发现两个音好像没什么关系。再讲频率调到$880\ \mathrm{Hz} \times 2 = 1760\ \mathrm{Hz}$，马上可以分辨出这个音又是一个“回归”的音。
所以我们发现一个定律：频率$2^ka$在听觉上是回归的，其中$k \in \mathbb{Z}$。 所以我们发现一个定律：频率$2^ka$在听觉上是回归的，其中$k \in \mathbb{Z}$。
@@ -27,15 +27,15 @@ $880\, \mathrm{Hz}$可以有两种含义：一种是$440\, \mathrm{Hz}+440\, \ma
所以我们的发挥空间一下子就变得非常有限。 所以我们的发挥空间一下子就变得非常有限。
这时候你可能会说：没关系，反正人耳可以分辨$2\, \mathrm{Hz}$的频率变化。$[2^ka, 2^{k+1}a]$之中不是还有很多个$2\, \mathrm{Hz}$吗？所以可用的频率还是非常多的。 这时候你可能会说：没关系，反正人耳可以分辨$2\ \mathrm{Hz}$的频率变化。$[2^ka, 2^{k+1}a]$之中不是还有很多个$2\ \mathrm{Hz}$吗？所以可用的频率还是非常多的。
确实，从数学上看， 确实，从数学上看，
$$ $$
m = \frac{2^{k+1}a-2^ka}{2\, \mathrm{Hz}} m = \frac{2^{k+1}a-2^ka}{2\ \mathrm{Hz}}
$$ $$
随着$k$和$a$的增长，$m$会越来越大，也就是说我们可用的频率会越来越多。可惜很不幸的是，频率越高或越低，人耳的分辨力越差。而且即便是$2\, \mathrm{Hz}$的差异，也不足以用来形成音乐。因为音乐的要求是人能够快速分辨不同的音高，这就要求不同音高间差异应当足够明显。而且，如果这个区间内不同的音高太多，会增加大脑处理的负担。我们的大脑天生倾向于处理具有相似性的事物，包括音乐。所以我们采用的音高应该尽可能少，但又足以充分利用这个区间内的可用频率。 随着$k$和$a$的增长，$m$会越来越大，也就是说我们可用的频率会越来越多。可惜很不幸的是，频率越高或越低，人耳的分辨力越差。而且即便是$2\ \mathrm{Hz}$的差异，也不足以用来形成音乐。因为音乐的要求是人能够快速分辨不同的音高，这就要求不同音高间差异应当足够明显。而且，如果这个区间内不同的音高太多，会增加大脑处理的负担。我们的大脑天生倾向于处理具有相似性的事物，包括音乐。所以我们采用的音高应该尽可能少，但又足以充分利用这个区间内的可用频率。
我们使用的音，应该在各个区间内数量相等且“回归”。也就是说，第二个区间的第一个音，应当等于第一个区间第一个音的$2$倍，以此类推。因此就不能采用$m$的算法，因为那样会导致不同的区间内音的数量不一样。 我们使用的音，应该在各个区间内数量相等且“回归”。也就是说，第二个区间的第一个音，应当等于第一个区间第一个音的$2$倍，以此类推。因此就不能采用$m$的算法，因为那样会导致不同的区间内音的数量不一样。