From e31167896c17cb7582d7599032ed3d446c00f427 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?=E7=BA=BF=E7=B2=92=E4=BD=93XianlitiCN?= Date: Wed, 4 Feb 2026 13:15:57 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E5=A4=A7=E5=81=9A=E4=B8=80=E9=81=93=E5=B0=8F?= =?UTF-8?q?=E5=AF=BC=E6=95=B0=E9=A2=98=EF=BC=9A=E6=89=8B=E5=8A=A8=E4=BC=98?= =?UTF-8?q?=E5=8C=96=E5=85=AC=E5=BC=8F?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- content/blog/大做一道小导数题.md | 125 ++++++----------------- 1 file changed, 31 insertions(+), 94 deletions(-) diff --git a/content/blog/大做一道小导数题.md b/content/blog/大做一道小导数题.md index 25622c8..0390901 100644 --- a/content/blog/大做一道小导数题.md +++ b/content/blog/大做一道小导数题.md @@ -15,51 +15,26 @@ $g\left ( x \right )$ 作为一个十分复杂的函数，通过直接观察的 因此，题目求解的是命题 $p : \forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) \ge 0$ 为真时，$a$ 的取值范围． -$${g}' (x) = \ln_{}{(x+1)} + \dfrac {a-1}{x+1}.$$ +$$ {g}' (x) = \ln_{}{(x+1)} + \dfrac {a-1}{x+1}. $$ -所以命题 +所以命题$p : \forall x \in (0,+\infty)$，${g}' (x) =\ln_{}{(x+1)} + \dfrac {a-1}{x+1} \ge 0. $ - -

$p : \forall x \in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) =\ln_{}{(x+1)} + \dfrac {a-1}{x+1} \ge 0$ ．

- +当前的目标是求得使该命题为真的 $a$ 的取值范围． - -

当前的目标是求得使该命题为真的 $a$ 的取值范围．

- +${g}' (x)$ 的性质仍然不是很明显，因此对 ${g}' (x)$ 求导： - -

${g}' (x)$ 的性质仍然不是很明显，因此对 ${g}' (x)$ 求导：

- +$$ {g}'' (x) = \dfrac {1}{x+1} + \dfrac {-(a-1)}{(x+1)^{2}} = \dfrac {x-a+2}{(x+1)^{2}} . $$ - -

${g}'' (x) = \dfrac {1}{x+1} + \dfrac {-(a-1)}{(x+1)^{2}} = \dfrac {x-a+2}{(x+1)^{2}}$ ．

- +${g}'' (x)$ 是 ${g}' (x)$ 的导函数，考察 ${g}'' (x)$ 来观察 ${g}' (x)$ 的性质． - -

${g}'' (x)$ 是 ${g}' (x)$ 的导函数，考察 ${g}'' (x)$ 来观察 ${g}' (x)$ 的性质．

- +令 ${g}'' (x) = 0$ ，得到 $x = a-2$ ．即 ${g}' (x)$ 的驻点是 $a-2$ ．这时需要讨论该驻点是否在定义域 $(-1,+\infty)$ 内，先讨论在定义域内的情形，即 $a-2 > -1$ ，$a>1$ ．当 $xa-2$ 时，$x-a+2>0$ ，所以 ${g}'' (x) > 0$ ．所以 ${g}' (x)$ 在驻点左侧单调递减，在驻点右侧单调递增． - -

令 ${g}'' (x) = 0$ ，得到 $x = a-2$ ．即 ${g}' (x)$ 的驻点是 $a-2$ ．这时需要讨论该驻点是否在定义域 $(-1,+\infty)$ 内，先讨论在定义域内的情形，即 $a-2 > -1$ ，$a>1$ ．当 $x<a-2$ 时，$x-a+2 < 0$ ，所以 ${g}'' (x) < 0$ ．当 $x>a-2$ 时，$x-a+2>0$ ，所以 ${g}'' (x) > 0$ ．所以 ${g}' (x)$ 在驻点左侧单调递减，在驻点右侧单调递增．

- +当驻点小于或等于 $-1$ 时，可以说 ${g}' (x)$ 在定义域内无驻点．此时 $a-2 \le -1$ ，$x-a+2 \ge x+1$ ，$\dfrac {x-a+2}{x+1} \ge 1$ ，所以 ${g}'' (x)$ 在定义域内恒大于 $0$ ，${g}' (x)$ 在定义域内为增函数． - -

当驻点小于或等于 $-1$ 时，可以说 ${g}' (x)$ 在定义域内无驻点．此时 $a-2 \le -1$ ，$x-a+2 \ge x+1$ ，$\dfrac {x-a+2}{x+1} \ge 1$ ，所以 ${g}'' (x)$ 在定义域内恒大于 $0$ ，${g}' (x)$ 在定义域内为增函数．

- +由上总结 ${g}' (x)$ 的两种单调性： - -

由上总结 ${g}' (x)$ 的两种单调性：

- - - -
    -
  1. 当 $a-2>-1$ 即 $a>1$ 时，${g}' (x)$ 在 $a-2$ 左侧减，右侧增（图1）．
    2. - - - -
  2. 当 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 时，${g}' (x)$ 在定义域上增（图2）．
    3. -
- +1. 当 $a-2>-1$ 即 $a>1$ 时，${g}' (x)$ 在 $a-2$ 左侧减，右侧增（图1）． +2. 当 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 时，${g}' (x)$ 在定义域上增（图2）．
@@ -71,80 +46,42 @@ $${g}' (x) = \ln_{}{(x+1)} + \dfrac {a-1}{x+1}.$$
- -

注意到我们要求的是命题 $p : \forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) \ge 0$ 为真时，$a$ 的取值范围．

- +注意到我们要求的是命题 $p : \forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) \ge 0$ 为真时，$a$ 的取值范围． - -

显然，对于 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 的情况，由于 ${g}' (x)$ 在定义域上增，故在 $(0,+\infty)$ 上也增，因此只需使 ${g}' (0) \ge 0$ ，就可以使命题 $p$ 为真．所以 ${g}' (0)=a-1 \ge 0$ ，$a \ge 1$ ．结合 $a \le 1$ 的前提，得 $a=1$ ．

- +显然，对于 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 的情况，由于 ${g}' (x)$ 在定义域上增，故在 $(0,+\infty)$ 上也增，因此只需使 ${g}' (0) \ge 0$ ，就可以使命题 $p$ 为真．所以 ${g}' (0)=a-1 \ge 0$ ，$a \ge 1$ ．结合 $a \le 1$ 的前提，得 $a=1$ ． - -

$a-2>-1$ 即 $a>1$ 的情况比较复杂，可以分为两种情况去讨论．第一，当 $-1<a-2 \le 0$ 即 $1<a \le 2$ 时，${g}' (x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增的，因此只需 ${g}' (0) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，解得 $a \ge 1$ ，结合前提得 $1<a \le 2$ ．第二，当 $a-2>0$ 即 $a>2$ 时，${g}' (x)$ 在 $x=a-2$ 处取得最小值，故只需 ${g}' (a-2) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，${g}' (a-2)=\ln_{}{(a-1)}+\dfrac {a-1}{a-1}=\ln_{}{(a-1)}+1 \ge 0$ ，$\ln_{}{(a-1)} \ge -1$ ， $a \ge \dfrac {1}{\mathrm{e}} +1$ ，结合前提得 $a>2$ ．

- +$a-2>-1$ 即 $a>1$ 的情况比较复杂，可以分为两种情况去讨论．**第一**，当 $-10$ 即 $a>2$ 时，${g}' (x)$ 在 $x=a-2$ 处取得最小值，故只需 ${g}' (a-2) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，${g}' (a-2)=\ln_{}{(a-1)}+\dfrac {a-1}{a-1}=\ln_{}{(a-1)}+1 \ge 0$ ，$\ln_{}{(a-1)} \ge -1$ ， $a \ge \dfrac {1}{\mathrm{e}} +1$ ，结合前提得 $a>2$ ． - -

综上，列出满足 $p$ 的三个条件：

- +综上，列出满足 $p$ 的三个条件： - -
    -
  1. $a=1$ ．
    2. - +1. $a=1$． +2. $12$. - -
  2. $1<a \le 2$ ．
    3. - +这三个条件涵盖了所以可能的情况，取并集即可．综上，得出结论： - -
  3. $a>2$ ．
    4. -
- +当 $a \ge 1$ 时，$g\left ( x \right )$ 在 $\left ( 0,+ \infty \right )$ 单调递增． - -

这三个条件涵盖了所以可能的情况，取并集即可．综上，得出结论：

- +### 总结 - -

当 $a \ge 1$ 时，$g\left ( x \right )$ 在 $\left ( 0,+ \infty \right )$ 单调递增．

- +本题研究的是函数的值域问题．由于函数较复杂，需要通过导数来考察函数单调性．过程中需要研究的问题是：函数是不是单调的？在何种情况下是单调的？何种情况下不是？最大值、最小值是多少？在何处取得？等等．虽然使用了二阶导数，但本质上仍然是普通的导数应用问题．必须要关注的是逻辑关系及分类讨论的重要性． - -

总结

- +班门弄斧，望不吝批评指教！ - -

本题研究的是函数的值域问题．由于函数较复杂，需要通过导数来考察函数单调性．过程中需要研究的问题是：函数是不是单调的？在何种情况下是单调的？何种情况下不是？最大值、最小值是多少？在何处取得？等等．虽然使用了二阶导数，但本质上仍然是普通的导数应用问题．必须要关注的是逻辑关系及分类讨论的重要性．

- +## 小做法 - -

班门弄斧，望不吝批评指教！

- +要求的仍然是 $\forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) \ge 0$ 时 $a$ 的取值范围，即 $\ln_{}{(x+1)}+\dfrac{a-1}{x+1} \ge 0$ 时 $a$ 的取值范围． - -

小做法

- +对于 $x\in (0,+\infty)$ ，$\ln_{}{(x+1)}$ 是恒正的．$\dfrac{a-1}{x+1}$ 则有两种情况：第一，当 $a-1 <0$ 即 $a<1$ ，$\dfrac{a-1}{x+1}$ 恒为负．第二，当 $a-1 \ge 0$ 即 $a \ge 1$ ，$\dfrac{a-1}{x+1}$ 恒非负． - -

要求的仍然是 $\forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) \ge 0$ 时 $a$ 的取值范围，即 $\ln_{}{(x+1)}+\dfrac{a-1}{x+1} \ge 0$ 时 $a$ 的取值范围．

- - - -

对于 $x\in (0,+\infty)$ ，$\ln_{}{(x+1)}$ 是恒正的．$\dfrac{a-1}{x+1}$ 则有两种情况：第一，当 $a-1 <0$ 即 $a<1$ ，$\dfrac{a-1}{x+1}$ 恒为负．第二，当 $a-1 \ge 0$ 即 $a \ge 1$ ，$\dfrac{a-1}{x+1}$ 恒非负．

- - - -

如图3，对于 $x\in (0,+\infty)$ ，当 $a-1 <0$ 时，其他点暂且勿论，单看 $\lim_{x \to 0^{+}} \ln_{}{(x+1)}+\dfrac{a-1}{x+1} < 0$ ，就知道 $a-1 <0$ 不满足这个命题．而 $a-1 \ge 0$ 显然是满足的，因为两正数相加结果一定为正数．故只需使 $a-1 \ge 0$ 即可使命题为真．

- +如图3，对于 $x\in (0,+\infty)$ ，当 $a-1 <0$ 时，其他点暂且勿论，单看 $\lim_{x \to 0^{+}} \ln_{}{(x+1)}+\dfrac{a-1}{x+1} < 0$ ，就知道 $a-1 <0$ 不满足这个命题．而 $a-1 \ge 0$ 显然是满足的，因为两正数相加结果一定为正数．故只需使 $a-1 \ge 0$ 即可使命题为真．
图3
- -

该做法相当巧妙简洁，在考场上能够节省大量时间，是绝大多数学生采用的做法．

- +该做法相当巧妙简洁，在考场上能够节省大量时间，是绝大多数学生采用的做法． - -

题不要多做，要做精、做透，研究得清清楚楚。

——@nanmu
-]]> +> 题不要多做，要做精、做透，研究得清清楚楚。 +> +> ——@nanmu