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Date: Wed, 4 Feb 2026 13:38:12 +0800
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@@ -44,7 +44,7 @@ ${g}^{\prime\prime} (x)$ 是 ${g}^{\prime} (x)$ 的导函数，考察 ${g}^{\pri
 
 显然，对于 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 的情况，由于 ${g}^{\prime} (x)$ 在定义域上增，故在 $(0,+\infty)$ 上也增，因此只需使 ${g}^{\prime} (0) \ge 0$ ，就可以使命题 $p$ 为真．所以 ${g}^{\prime} (0)=a-1 \ge 0$ ，$a \ge 1$ ．结合 $a \le 1$ 的前提，得 $a=1$ ．
 
-$a-2>-1$ 即 $a>1$ 的情况比较复杂，可以分为两种情况去讨论．**第一**，当 $-1<a-2 \le 0$ 即 $1<a \le 2$ 时，${g}^{\prime} (x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增的，因此只需 ${g}^{\prime} (0) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，解得 $a \ge 1$ ，结合前提得 $1<a \le 2$ ．**第二**，当 $a-2>0$ 即 $a>2$ 时，${g}^{\prime} (x)$ 在 $x=a-2$ 处取得最小值，故只需 ${g}^{\prime} (a-2) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，${g}^{\prime} (a-2)=\ln*{}{(a-1)}+\dfrac {a-1}{a-1}=\ln*{}{(a-1)}+1 \ge 0$ ，$\ln_{}{(a-1)} \ge -1$ ， $a \ge \dfrac {1}{\mathrm{e}} +1$ ，结合前提得 $a>2$ ．
+$a-2>-1$ 即 $a>1$ 的情况比较复杂，可以分为两种情况去讨论．**第一**，当 $-1<a-2 \le 0$ 即 $1<a \le 2$ 时，${g}^{\prime} (x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增的，因此只需 ${g}^{\prime} (0) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，解得 $a \ge 1$ ，结合前提得 $1<a \le 2$ ．**第二**，当 $a-2>0$ 即 $a>2$ 时，${g}^{\prime} (x)$ 在 $x=a-2$ 处取得最小值，故只需 ${g}^{\prime} (a-2) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，${g}^{\prime} (a-2)=\ln_{}{(a-1)}+\dfrac {a-1}{a-1}=\ln_{}{(a-1)}+1 \ge 0$ ，$\ln_{}{(a-1)} \ge -1$ ， $a \ge \dfrac {1}{\mathrm{e}} +1$ ，结合前提得 $a>2$ ．
 
 综上，列出满足 $p$ 的三个条件：
 
@@ -68,7 +68,7 @@ $a-2>-1$ 即 $a>1$ 的情况比较复杂，可以分为两种情况去讨论．*
 
 对于 $x\in (0,+\infty)$ ，$\ln_{}{(x+1)}$ 是恒正的．$\dfrac{a-1}{x+1}$ 则有两种情况：第一，当 $a-1 <0$ 即 $a<1$ ，$\dfrac{a-1}{x+1}$ 恒为负．第二，当 $a-1 \ge 0$ 即 $a \ge 1$ ，$\dfrac{a-1}{x+1}$ 恒非负．
 
-如图3，对于 $x\in (0,+\infty)$ ，当 $a-1 <0$ 时，其他点暂且勿论，单看 $\lim*{x \to 0^{+}} \ln*{}{(x+1)}+\dfrac{a-1}{x+1} < 0$ ，就知道 $a-1 <0$ 不满足这个命题．而 $a-1 \ge 0$ 显然是满足的，因为两正数相加结果一定为正数．故只需使 $a-1 \ge 0$ 即可使命题为真．
+如图3，对于 $x\in (0,+\infty)$ ，当 $a-1 <0$ 时，其他点暂且勿论，单看 $\lim_{x \to 0^{+}} \ln_{}{(x+1)}+\dfrac{a-1}{x+1} < 0$ ，就知道 $a-1 <0$ 不满足这个命题．而 $a-1 \ge 0$ 显然是满足的，因为两正数相加结果一定为正数．故只需使 $a-1 \ge 0$ 即可使命题为真．
 
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