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使用归纳法证明二项式定理	2026-04-16T20:57:00.000+08:00	线粒体

首先需要证明一个引理：

\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}.

证：首先，左边

\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} + \frac{n!}{k!(n-k)!}.

而右边

\binom{n+1}{k} = \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}.

试图使左右两边相等，需要使得左边分母为$k!(n+1-k)!$，所以通分得：

\begin{align*}
& \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} + \frac{n!}{k!(n-k)!} \\\\
&= \frac{n!k}{k!(n-k+1)!} + \frac{n!(n-k+1)}{k!(n-k+1)!} \\\\
&= \frac{n!k+n!(n-k+1)}{k!(n-k+1)!} \\\\
&= \frac{n!(n+1)}{k!(n-k+1)!} \\\\
&= \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} \\\\
&= \binom{n+1}{k}. \tag*{$\blacksquare$}
\end{align*}

随后证明二项式定理

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.

证：使用归纳法证明. 首先证明$P_0$，显然，

(a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^{0}\binom{0}{k}a^{0-k}b^k = a^0b^0.

故$P_0$得证. 接下来，假设$P_n$成立，验证$P_{n+1}$是否成立：

\begin{aligned}
& (a+b)^{n+1} \\\\
&= (a+b)(a+b)^n \\\\
&= (a+b) \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k \\\\
&= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (a^{n+1-k}b^k + a^{n-k}b^{k+1}) \\\\
&= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n+1-k}b^k + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k+1} \\\\
&= a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} a^{n+1-k}b^k + b^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k+1} \\\\
&= a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} a^{n+1-k}b^k + b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k-1} a^{n-(k-1)}b^{(k-1)+1}. \\\\
\end{aligned}

注意到这里，我们给$\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k+1}$更换索引为$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k-1} a^{n-(k-1)}b^{(k-1)+1}$，观察易得这两个式子是相等的（坦诚地说，我第一次学的时候并没有观察出来）. 继续进行变换：

\begin{aligned}
& a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} a^{n+1-k}b^k + b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k-1} a^{n-(k-1)}b^{(k-1)+1}. \\\\
&= a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} a^{n+1-k}b^k + b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k-1} a^{n+1-k}b^{k}. \\\\
&= a^{n+1} + b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \left[ \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} \right] a^{n+1-k}b^{k} .
\end{aligned}

利用一开始证得的引理，即有

\begin{aligned}
& a^{n+1} + b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \left[ \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} \right] a^{n+1-k}b^{k} \\\\
&= a^{n+1} + b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n+1}{k} a^{n+1-k}b^{k} \\\\
&= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^{n+1-k}b^{k}.
\end{aligned}

所以，

\begin{align}
(a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} a^{n+1-k}b^{k}. \tag*{$\blacksquare$}
\end{align}

虽然在这里写得洋洋洒洒，但是说实话，在下天资愚钝，第一次见到这个证明，还是没那么容易理解的. 而且很有可能，现在证得出来，将来某天就会忘掉. 所以数学的学习是一个不断积累的过程，现在吃下的每一口，将来都会成长为构成身体的肌肉和骨骼.