Create 文章 “大做一道小导数题”

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+title: 大做一道小导数题
+date: 2024-01-03T23:56:00.000+08:00
+author: 线粒体
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+## 题目
+**【2024·嘉峪关市酒钢三中1月联考预测卷：21. (2)】** $g\left ( x \right ) = x\ln_{}{\left ( x+1 \right ) } +a\ln_{}{\left ( x+1 \right ) } -x$ ，$g\left ( x \right )$ 在 $\left ( 0,+ \infty \right )$ 单调递增，求 $a$ 的取值范围．
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+## 大做法
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+### 解析
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+$g\left ( x \right )$ 作为一个十分复杂的函数，通过直接观察的方式显然不能有所突破，因此，考虑 $g\left ( x \right )$ 的导函数 ${g}' (x)$ ．$g(x)$ 在 $(0,+ \infty)$ 单调递增的等价命题是： ${g}' (x)$ 在 $(0,+ \infty)$ 上非负．
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+因此，题目求解的是命题 $p : \forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) \ge 0$ 为真时，$a$ 的取值范围．
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+$${g}' (x) = \ln_{}{(x+1)} + \dfrac {a-1}{x+1}.$$ 
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+所以命题 
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+<!-- wp:paragraph {"align":"center"} -->
+<p class="has-text-align-center">$p : \forall x \in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) =\ln_{}{(x+1)} + \dfrac {a-1}{x+1} \ge 0$ ．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
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+<!-- wp:paragraph -->
+<p>当前的目标是求得使该命题为真的 $a$ 的取值范围．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
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+<!-- wp:paragraph -->
+<p>${g}' (x)$ 的性质仍然不是很明显，因此对 ${g}' (x)$ 求导：</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
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+<!-- wp:paragraph {"align":"center"} -->
+<p class="has-text-align-center">${g}'' (x) = \dfrac {1}{x+1} + \dfrac {-(a-1)}{(x+1)^{2}} = \dfrac {x-a+2}{(x+1)^{2}}$ ．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
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+<!-- wp:paragraph -->
+<p>${g}'' (x)$ 是 ${g}' (x)$ 的导函数，考察 ${g}'' (x)$ 来观察 ${g}' (x)$ 的性质．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
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+<!-- wp:paragraph -->
+<p>令 ${g}'' (x) = 0$ ，得到 $x = a-2$ ．即 ${g}' (x)$  的驻点是 $a-2$ ．这时需要讨论该驻点是否在定义域 $(-1,+\infty)$ 内，先讨论在定义域内的情形，即 $a-2 &gt; -1$ ，$a&gt;1$ ．当 $x&lt;a-2$ 时，$x-a+2 &lt; 0$ ，所以 ${g}'' (x) &lt; 0$ ．当 $x&gt;a-2$ 时，$x-a+2&gt;0$ ，所以 ${g}'' (x) &gt; 0$ ．所以 ${g}' (x)$ 在驻点左侧单调递减，在驻点右侧单调递增．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
+
+<!-- wp:paragraph -->
+<p>当驻点小于或等于 $-1$ 时，可以说 ${g}' (x)$ 在定义域内无驻点．此时 $a-2 \le -1$ ，$x-a+2 \ge x+1$ ，$\dfrac {x-a+2}{x+1} \ge 1$ ，所以 ${g}'' (x)$ 在定义域内恒大于 $0$ ，${g}' (x)$ 在定义域内为增函数．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
+
+<!-- wp:paragraph -->
+<p>由上总结 ${g}' (x)$ 的两种单调性：</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
+
+<!-- wp:list {"ordered":true} -->
+<ol class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
+<li>当 $a-2&gt;-1$ 即 $a&gt;1$ 时，${g}' (x)$ 在 $a-2$ 左侧减，右侧增（图1）．</li>
+<!-- /wp:list-item -->
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+<!-- wp:list-item -->
+<li>当 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 时，${g}' (x)$ 在定义域上增（图2）．</li>
+<!-- /wp:list-item --></ol>
+<!-- /wp:list -->
+
+<!-- wp:group {"layout":{"type":"flex","flexWrap":"nowrap","justifyContent":"center","orientation":"horizontal"}} -->
+<div class="wp-block-group"><!-- wp:image {"lightbox":{"enabled":true},"id":521,"scale":"cover","sizeSlug":"large","linkDestination":"none"} -->
+<figure class="wp-block-image size-large"><img src="https://qingshuige.ink/wp-content/uploads/2024/01/geogebra-export-3-1024x612.png" alt="" class="wp-image-521" style="object-fit:cover"/><figcaption class="wp-element-caption">图1</figcaption></figure>
+<!-- /wp:image -->
+
+<!-- wp:image {"lightbox":{"enabled":true},"id":520,"scale":"cover","sizeSlug":"large","linkDestination":"none"} -->
+<figure class="wp-block-image size-large"><img src="https://qingshuige.ink/wp-content/uploads/2024/01/geogebra-export-2-1024x612.png" alt="" class="wp-image-520" style="object-fit:cover"/><figcaption class="wp-element-caption">图2</figcaption></figure>
+<!-- /wp:image --></div>
+<!-- /wp:group -->
+
+<!-- wp:paragraph -->
+<p>注意到我们要求的是命题 $p : \forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) \ge 0$ 为真时，$a$ 的取值范围．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
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+<!-- wp:paragraph -->
+<p>显然，对于 $a-2 \le -1$ 即 $a \le 1$ 的情况，由于 ${g}' (x)$ 在定义域上增，故在 $(0,+\infty)$ 上也增，因此只需使 ${g}' (0) \ge 0$ ，就可以使命题 $p$ 为真．所以 ${g}' (0)=a-1 \ge 0$ ，$a \ge 1$ ．结合 $a \le 1$ 的前提，得 $a=1$ ．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
+
+<!-- wp:paragraph -->
+<p>$a-2&gt;-1$ 即 $a&gt;1$ 的情况比较复杂，可以分为两种情况去讨论．<strong>第一</strong>，当 $-1&lt;a-2 \le 0$ 即 $1&lt;a \le 2$ 时，${g}' (x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增的，因此只需 ${g}' (0) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，解得 $a \ge 1$ ，结合前提得 $1&lt;a \le 2$ ．<strong>第二</strong>，当 $a-2&gt;0$ 即 $a&gt;2$ 时，${g}' (x)$ 在 $x=a-2$ 处取得最小值，故只需 ${g}' (a-2) \ge 0$ 即可满足命题 $p$ ，${g}' (a-2)=\ln_{}{(a-1)}+\dfrac {a-1}{a-1}=\ln_{}{(a-1)}+1 \ge 0$ ，$\ln_{}{(a-1)} \ge -1$ ， $a \ge \dfrac {1}{\mathrm{e}} +1$ ，结合前提得 $a&gt;2$ ．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
+
+<!-- wp:paragraph -->
+<p>综上，列出满足 $p$ 的三个条件：</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
+
+<!-- wp:list {"ordered":true} -->
+<ol class="wp-block-list"><!-- wp:list-item -->
+<li>$a=1$ ．</li>
+<!-- /wp:list-item -->
+
+<!-- wp:list-item -->
+<li>$1&lt;a \le 2$ ．</li>
+<!-- /wp:list-item -->
+
+<!-- wp:list-item -->
+<li>$a&gt;2$ ．</li>
+<!-- /wp:list-item --></ol>
+<!-- /wp:list -->
+
+<!-- wp:paragraph -->
+<p>这三个条件涵盖了所以可能的情况，取并集即可．综上，得出结论：</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
+
+<!-- wp:paragraph -->
+<p>当 $a \ge 1$ 时，$g\left ( x \right )$ 在 $\left ( 0,+ \infty \right )$ 单调递增．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
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+<!-- wp:heading {"level":4} -->
+<h4 class="wp-block-heading">总结</h4>
+<!-- /wp:heading -->
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+<!-- wp:paragraph -->
+<p>本题研究的是函数的值域问题．由于函数较复杂，需要通过导数来考察函数单调性．过程中需要研究的问题是：函数是不是单调的？在何种情况下是单调的？何种情况下不是？最大值、最小值是多少？在何处取得？等等．虽然使用了二阶导数，但本质上仍然是普通的导数应用问题．必须要关注的是逻辑关系及分类讨论的重要性．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
+
+<!-- wp:paragraph -->
+<p>班门弄斧，望不吝批评指教！</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
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+<!-- wp:heading {"level":3} -->
+<h3 class="wp-block-heading">小做法</h3>
+<!-- /wp:heading -->
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+<!-- wp:paragraph -->
+<p>要求的仍然是 $\forall x\in (0,+\infty)$ ，${g}' (x) \ge 0$ 时 $a$ 的取值范围，即 $\ln_{}{(x+1)}+\dfrac{a-1}{x+1} \ge 0$ 时 $a$ 的取值范围．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
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+<!-- wp:paragraph -->
+<p>对于 $x\in (0,+\infty)$ ，$\ln_{}{(x+1)}$ 是恒正的．$\dfrac{a-1}{x+1}$ 则有两种情况：第一，当 $a-1 &lt;0$ 即 $a&lt;1$ ，$\dfrac{a-1}{x+1}$ 恒为负．第二，当 $a-1 \ge 0$ 即 $a \ge 1$ ，$\dfrac{a-1}{x+1}$ 恒非负．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
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+<!-- wp:paragraph -->
+<p>如图3，对于 $x\in (0,+\infty)$ ，当 $a-1 &lt;0$ 时，其他点暂且勿论，单看 $\lim_{x \to 0^{+}} \ln_{}{(x+1)}+\dfrac{a-1}{x+1} &lt; 0$ ，就知道 $a-1 &lt;0$ 不满足这个命题．而 $a-1 \ge 0$ 显然是满足的，因为两正数相加结果一定为正数．故只需使 $a-1 \ge 0$ 即可使命题为真．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
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+<!-- wp:image {"lightbox":{"enabled":true},"id":524,"sizeSlug":"large","linkDestination":"none","align":"center"} -->
+<figure class="wp-block-image aligncenter size-large"><img src="https://qingshuige.ink/wp-content/uploads/2024/01/geogebra-export-4-1024x612.png" alt="" class="wp-image-524"/><figcaption class="wp-element-caption">图3</figcaption></figure>
+<!-- /wp:image -->
+
+<!-- wp:paragraph -->
+<p>该做法相当巧妙简洁，在考场上能够节省大量时间，是绝大多数学生采用的做法．</p>
+<!-- /wp:paragraph -->
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+<!-- wp:pullquote {"textAlign":"left","align":"wide","style":{"border":{"width":"0px","style":"none"}}} -->
+<figure class="wp-block-pullquote alignwide has-text-align-left" style="border-style:none;border-width:0px"><blockquote><p>题不要多做，要做精、做透，研究得清清楚楚。</p><cite>——@nanmu</cite></blockquote></figure>
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